Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

übereinanderstehen.
    In einer Stunde dreht sich der kleine Zeiger um ein Zwölftel des Kreises, also um 30°, weiter. Daraus kann man berechnen, dass nach 32, 72 ° ungefähr 65 Minuten und 27,3 Sekunden vergangen sind.

Über die Brücke
    Kommt Familie Mathefix noch nach Hause?
    Die Familie Mathefix macht einen Ausflug: Vater; Mutter, Sohn und Tochter. Sie haben sich in der Zeit verschätzt, es wird dunkel, und sie müssen einen Fluss überqueren, über den nur ein schmaler Steg führt. Der Steg ist so eng und so baufällig, dass immer nur zwei Personen darübergehen können. Auch wenn sie noch so eng zusammenrücken: Mehr als zwei geht nicht.
    Sie wissen auch genau, wie lange jeder Einzelne für den Steg braucht: Die Tochter ist schon größer und schafft das in einer Minute, während ihr kleiner Bruder zwei Minuten braucht. Die Eltern sind ängstlich und brauchen entsprechend länger, die Mutter vier Minuten, der Vater sogar fünf.
    Es ist dunkel, und daher ist es gefährlich, über den Steg zu gehen. Zum Glück haben sie eine Taschenlampe im Gepäck. Sie können also mit der Taschenlampe über den Steg, sie muss aber jeweils wieder zurückgebracht werden!
    Natürlich möchten sie den Fluss so schnell wie möglich überqueren. Wie viel Zeit brauchen sie mindestens, und wie müssen sie sich organisieren?

    Lösung: Die Rekordzeit ist zwölf Minuten. Der Trick besteht darin, dass nie eine langsame und eine schnelle Person gleichzeitig gehen. Genauer funktioniert es so:
    Zunächst gehen die beiden Kinder über den Steg (zwei Minuten).
    Dann geht der Sohn zurück, was noch einmal zwei Minuten braucht.
    Dann gehen die beiden Eltern über den Steg; durch den langsamen Vater brauchen sie dazu fünf Minuten, so dass wir jetzt bei einer Gesamtzeit von neun Minuten sind.
    Anschließend bringt die Tochter die Taschenlampe wieder zurück und geht mit ihrem Bruder rüber, so dass dann die Familie wieder vereint ist.
    Insgesamt dauert das 2 + 2 + 5 + 1 + 2 = 12 Minuten.

    Zusatzaufgabe: Wie lange braucht eine Familie, die drei Kinder hat, die eine, zwei beziehungsweise drei Minuten brauchen, während die Mutter sechs und der Vater sieben Minuten braucht?

6.
Quadrate und Würfel

Neun Punkte
    Vorgegeben sind neun Punkte. Diese sind völlig regelmäßig angeordnet, jeweils drei nebeneinander und drei übereinander: ein Quadrat mit 3·3 Punkten.

    Alle Punkte sollen miteinander verbunden werden. Doch dabei gibt es mehrere Bedingungen: Sie dürfen nur gerade Linien zeichnen, aber nicht mehr als vier! Außerdem soll die Verbindung in einem Zug gezeichnet werden können.

    Tipp: Denken Sie großräumig!

    Lösung: Aufgrund der kompakten Anordnung kommt man meist nicht auf die Idee, über die äußeren Punkte hinauszuzeichnen. Doch darin liegt die Lösung!

Durch drei Punkte
    Betrachten wir ein regelmäßiges Muster aus neun Punkten in der Anordnung 3 · 3:

    Durch die Punkte können Geraden so gelegt werden, dass jeweils drei Punkte getroffen werden: drei waagrechte Geraden, drei senkrechte Geraden und zwei Diagonalen. Insgesamt somit acht Geraden.
    Nun sollen zwei der neun Punkte so verschoben werden, dass es insgesamt zehn mögliche Geraden gibt, die durch drei Punkte verlaufen.

    Tipp: Verschieben Sie die Punkte so, dass die Anordnung der Punkte möglichst symmetrisch bleibt.

    Lösung: Schiebt man den Punkt links von der Mitte so ein Stück nach rechts, dass der Abstand zwischen seiner ursprünglichen Position und dem Punkt in der Mitte halbiert wird, dann fällt zunächst eine der ursprünglich möglichen Geraden weg: Die am linken Rand senkrecht verlaufende Gerade ist dann nicht mehr möglich. Stattdessen ergeben sich zwei neue Geraden durch drei Punkte: Der neu gesetzte Punkt wirdvon einer Geraden durch den linken oberen und den mittleren unteren Punkt getroffen und von einer entsprechenden Gerade durch den mittleren oberen und linken unteren Punkt. Insgesamt hat sich die Anzahl der möglichen Geraden um eins erhöht.
    Entsprechend kann man mit dem rechten mittleren Punkt verfahren und diesen etwas nach links schieben. Auf diese Weise erhält man die geforderten zehn Geraden.
    Natürlich ist auch die um 90° gedrehte Variante möglich, die Punkte oben und unten in der Mitte entsprechend zu verschieben.
    Schnell kann man vermuten, dass die Zahl noch gesteigert werden kann, indem man alle vier genannten Punkte entsprechend verschiebt. Doch im Gegenteil! Die Zahl der Möglichkeiten verringert sich in diesem Fall