Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

werden wieder halbiert (dreieinhalb) und aufgerundet, das gibt vier. Und es bleiben drei übrig. Das jüngste Kind bekommt die Hälfte, also eineinhalb, aufgerundet zwei. Und ein Riegel bleibt übrig für die Mutter.
    Bei 16 Riegeln und drei Kindern hätte das Aufteilen problemlos geklappt. Die Zahl 16 kann man auch durch das Produkt 2 · 2 · 2 · 2 ausdrücken. Vom Ende der Aufteilung der Schokoriegel betrachtet, kann man darin die vierfache Verdopplung der Riegel von der Mutter bis zum ersten Kind entdecken. Entsprechend ist es bei 32 Riegeln (2 · 2 · 2 · 2 · 2) und fünf Personen.Auch mit 8 Riegeln und drei Personen würde es funktionieren.
    Die Zahlen 1, 2, 4, 8, 16, 32, … , also die „Zweierpotenzen“, die man in der Form 2 · 2 · 2 … oder kurz als 2 n schreiben kann, eignen sich somit besonders gut für das ungerechte Verteilen, wie es der Vater praktiziert. Nimmt man statt dieser Zahlen jeweils eins weniger, so gibt es bei jedem Halbieren das Problem des halben Riegels und am Schluss bleibt statt zwei Riegeln nur ein einzelner Riegel übrig.

    Zusatzfrage: Wenn die Familie vier Kinder hätte und entsprechend verteilt würde, wie viele Riegel bräuchte der Vater dann?

Pizza schneiden
    Sie haben eine kreisrunde Pizza und möchten diese in möglichst viele Teile zerschneiden. Es geht nicht darum, dass die Teile gleich groß werden oder gleich viel Inneres und gleich viel Rand enthalten. Es geht nur um die Anzahl, und zwar die maximale.
    Geschnitten wird mir einem geraden Schnitt von einem Rand bis zum anderen. Das heißt, Sie fahren mit einem Pizzaschneider in einer geraden Linie von einem Rand bis zum anderen.
    Mit einem Schnitt macht man zwei Teile. Mit zwei Schnitten kann man vier Teile erhalten.
    Wie viele Teile erhält man maximal mit drei Schnitten?
    Und wie geht es weiter: Wie viele Teile erhält man maximal mit vier Schnitten?

    Tipp: Angenommen, Sie haben die Pizza durch zwei Schnitte in vier Teile zerteilt. Wie viele dieser Teile können Sie mit dem nächsten Schnitt in zwei Teile schneiden?
    Lösung: Mit drei Schnitten erhält man maximal sieben Teile, mit vier Schnitten maximal elf Teile.

    Mit dem ersten Schnitt kann man die gesamte Pizza in zwei Teile teilen, mit dem zweiten Schnitt kann man diese zwei Teile halbieren, mit dem dritten kann man maximal drei Teile zerschneiden, mit dem vierten vier und so weiter.
    Das bedeutet: Nach dem ersten Schnitt hat man 2 Teile, nach dem zweiten 2 + 2 Teile, nach dem dritten 2 + 2 + 3 und so weiter. Nach dem n-ten Schnitt erhält man 2 + 2 + 3 … + n Teile. Diese Zahl kann man auch in einer geschlossenen Formel schreiben: Nach n Schnitten hat man maximal (n 2 + n + 2)/2 Teile erhalten.

Donuts schneiden
    Stellen Sie sich einen Donut vor. Von oben betrachtet ist das einfach ein Ring, der durch zwei Kreise begrenzt wird. Diesen Donut sollen Sie nun zerschneiden, und zwar durch gerade Schnitte von oben nach unten. Also keine schrägen oder waagrechten Schnitte.
    Sie sollen möglichst viele Teile erhalten. Die Größe interessiert überhaupt nicht, sondern nur die Anzahl, und die soll möglichst groß sein. Wie viele Teile erhalten Sie maximal mit drei Schnitten?

    Tipp: Mit einem Schnitt erhält man zwei Teile;das geht nicht anders. Und mit zwei Schnitten?
    Lösung: Mit zwei Schnitten erhält man schon fünf Teile – und mit drei Schnitten sogar neun Teile.

Der gerechte Großvater
    Großvater hat viele Enkel. Eigentlich möchte er jedem 10 Euro schenken. Als er das Geld, das er in seinem Geldbeutel hat, nachzählt, merkt er, dass dann ein Enkel gar nichts bekommen würde. Da beschließt er, jedem Enkel nur 8 Euro zu schenken. Jetzt bleiben ihm noch 6 Euro übrig. Wie viele Enkel hat Großvater?

    Lösung: Man kann sich das so vorstellen: Großvater gibt zunächst den Enkeln jeweils 10 Euro, wobei der jüngste vorerst nichts erhält. Dann zieht er von allen, die 10 Euro bekommen haben, wieder 2 Euro ein. Die 2 Euro der ersten vier Enkel bekommt der jüngste. Es bleiben noch 6 Euro übrig, die von drei weiteren stammen Enkeln. Insgesamt hat Opa also vier plus drei plus den jüngsten, also acht Enkel.

    Man kann natürlich auch eine Gleichung aufstellen und diese lösen. Wir nennen die Anzahl der Enkel x und den Betrag, den Großvater in seinem Geldbeutel hat, bezeichnen wir mit b.
    Die erste Aussage können wir so ausdrücken: b = 10 · (x – 1). Das bedeutet nämlich, dass Großvater sein ganzes Geld (b) verbraucht, wenn er allen bis auf einen Enkel